Théorème d'inversion locale - Math'φsics

Théorème d'inversion locale

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Théorème
Théorème d'inversion locale :
soient \(E,F\) des espaces de Banach

soit \(U\) un ouvert de \(E\)

soit \(f:U\to F\) de classe \(\mathcal C^1\) sur \(U\)

soit \(a\in U\) tel que \(df(a)\) soit un difféomorphisme

$$\Huge\iff$$

il existe \(U_a\in\mathcal V(a)\) et \(V_a\in\mathcal V(f(a))\) tels que la restriction de \(f\) à \(U_a\) forme un \(\mathcal C^1\)-difféomorphisme de \(U_a\) sur \(V_a\)
(SCIENCES/🔢 Mathématiques/L3 ENS/S1/Calcul différentiel/Vrac/Espace de Banach, Isomorphisme, Difféomorphisme, Voisinage, Théorème des accroissements finis, Théorème du point fixe de Banach-Picard, Classe de fonctions)
Remarque :
On dispose d'une version \(\mathcal C^k\) du théorème d'inversion locale [!Remarque] Application du théorème d'inversion locale dans le cas \(E=F={\Bbb R}^n\)
Pour l'appliquer, on sait qu'on a : $${{df(x)\in\operatorname{Isom}(E,F)}}\iff{{ Df(x)\text{ est une matrice inversible} }}$$

Corollaires
Théorème d'inversion globale
Rétroliens :
- Théorème des fonctions implicites
- Théorème du rang constant